La ecuación de Schrödinger fue desarrollada por el físico austríaco Erwin
Schrödinger en 1925. Describe la evolución temporal
de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en la teoría
de la mecánica
cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel
análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica
clásica. Las partículas microscópicas incluyen a las partículas
elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como
núcleos atómicos.
Al comienzo del siglo XX se había
comprobado que la luz presentaba una dualidad onda corpúsculo, es decir, la luz se podía
manifestar (según las circunstancias) como partícula (fotón en el efecto
fotoeléctrico), o como onda
electromagnética en la interferencia luminosa. En 1923 Louis-Victor
de Broglie propuso generalizar esta dualidad a todas las partículas
conocidas. Propuso la hipótesis, paradójica en su momento, de que a toda
partícula clásica microscópica se le puede asignar una onda, lo cual se
comprobó experimentalmente en 1927 cuando se observó la difracción de electrones. Por analogía con los fotones,
De Broglie asocia a cada partícula libre con energía
y cantidad de
movimiento
una
frecuencia
y una
longitud de onda
:
La comprobación experimental hecha por Clinton
Davisson y Lester Germer mostró que la longitud de onda asociada a
los electrones medida en la difracción según la fórmula de Bragg se
correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula de De Broglie.
Esa predicción llevó a Schrödinger a tratar de escribir una
ecuación para la onda asociada de De Broglie que para escalas macroscópicas se
redujera a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La energía
mecánica total clásica es:
El éxito de la ecuación, deducida de esta expresión utilizando el principio de correspondencia, fue inmediato por la evaluación
de los niveles cuantificados de energía del electrón en el átomo de hidrógeno, pues ello
permitía explicar el espectro de
emisión del hidrógeno: series de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, Pfund, etc.
La interpretación física correcta de la función de onda de
Schrödinger fue dada en 1926 por Max Born. En razón
del carácter probabilista que se introducía, la mecánica ondulatoria de
Schrödinger suscitó inicialmente la desconfianza de algunos físicos de renombre
como Albert Einstein, para quien
«Dios no juega a los dados» y del propio Schrödinger.
El esquema conceptual utilizado por Schrödinger para derivar su
ecuación reposa sobre una analogía formal entre la óptica y la mecánica:
- En la óptica
ondulatoria,
la ecuación de propagación en un medio transparente de índice real n
variando lentamente a la escala de la longitud de onda conduce —mientras
se busca una solución monocromática donde la amplitud varía muy lentamente
ante la fase— a una ecuación aproximada denominada eikonal. Es la aproximación de la óptica geométrica, a la cual está asociada el principio
variacional de Fermat.
- En la formulación
hamiltoniana
de la mecánica clásica, existe una ecuación de Hamilton-Jacobi (que en
última instancia es equivalente a las leyes de Newton). Para una partícula
masiva no relativista sometida a una fuerza que deriva de una energía potencial, la energía mecánica total es
constante y la ecuación de Hamilton-Jacobi para la ”función característica
de Hamilton” se parece formalmente a la ecuación de la eikonal (el
principio variacional asociado es el principio
de mínima acción.)
Este paralelismo lo había notado ya Hamilton en 1834,
pero el no tenía una razón para dudar de la validez de mecánica clásica.
Después de la hipótesis de
De Broglie de 1923, Schrödinger dice:
1 la ecuación
de la eikonal siendo una aproximación a la ecuación de onda de la óptica
ondulatoria, buscamos la ecuación de onda de la "mecánica
ondulatoria" (a realizar) donde la aproximación será la ecuación de
Hamilton-Jacobi. Lo que falta, primero para una onda estacionaria (E =
cte), después para una onda de cualquier tipo.
2Schrödinger había en efecto comenzado por tratar el caso de una
partícula relativista —como de
Broglie antes que él—
3 Entonces
había obtenido la ecuación conocida hoy día con el nombre de Klein-Gordon, pero su aplicación al caso del potencial
eléctrico del átomo de hidrógeno daba unos niveles de energía incompatibles con
los resultados experimentales.
4 Ello hará
que se concentre sobre el caso no-relativista, con el éxito conocido.
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